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dirac

Introdução a Física do Grafeno

Os materiais baseados no carbono, assim como os clusters e moléculas são considerados únicos por algumas razões. Uma delas é atribuída às possíveis configurações dos estados eletrônicos do átomo de carbono. O carbono é o primeiro elemento do grupo IVA da tabela periódica, o que significa que no seu estado basal a sua configuração tem dois elétrons fortemente ligados no nível (\(1s^2\)) e quatro elétrons na banda de valência

(\(2s^2\) e \(2p^2\)).

De todos os elementos do grupo IVA, somente o carbono pode ter configurações \(sp^1\), \(sp^2\) e \(sp^3\) e isto se deve ao fato deste ser o único átomo deste grupo que não contêm elétrons internos tipo \(p\). No caso do \(Si\) e do \(Ge\), a interação entre o orbital de valência \(p\) e os elétrons internos tipo \(p\), aumenta a energia da configuração \(sp^2\). Estes dois elementos apresentam essencialmente hibridização tipo \(sp^3\) e isto pode ser a razão pela qual os compostos orgânicos não são feitos de \(Si\) e \(Ge\). Porém, hoje em dia a química orgânica do \(Si\) tem se tornado um campo de pesquisa muito ativo [1].

Estrutura do Grafeno

A estrutura cristalina do grafite consiste de átomos de carbono ligados formando uma rede hexagonal planar, cada uma dessas empilhada sobre as outras, formando assim uma

estrutura tridimensional (figura 1). Cada dois planos adjacentes se encontram deslocados de tal forma que um átomo do primeiro plano encontra-se no centro do hexágono do segundo plano.

Podemos então definir um plano basal \(\textbf{ab}\) e um eixo \(\textbf{c}\) na direção em que os planos estão empilhados. A distância mínima entre dois átomos de carbono no plano basal \(a_0\) é \(1,42\) \(A^o\).

O parâmetro de rede ao longo do eixo \(\textbf{c}\) (\(c_0\)) é \(6,71\) $\(\AA\) \(\,\,\)e a distância entre dois planos adjacentes \(c_0/2\) é \(3,35\) \(\AA\). É essa estrutura que faz com que o grafite seja um material anisotrópico, apresentando um comportamento semi-metálico no seu plano basal (\(\textbf{ab}\)) e baixa condutividade elétrica ao longo da direção axial \(\textbf{c}\).  

Pelos dados de sua estrutura cristalina, podemos observar que a distância entre dois planos adjacentes é mais que o dobro da distância entre dois átomos vizinhos localizados no mesmo plano basal. Sendo assim, podemos considerar que as interações entre átomos de diferentes camadas são pequenas se comparadas com as interações entre átomos do mesmo plano. Assim, para estudarmos as propriedades eletrônicas do grafite podemos utilizar uma aproximação onde substituímos a estrutura tridimensional do grafite (grafite 3D) por uma estrutura bidimensional (grafite 2D ou grafeno) que se estende ao longo do plano \( \textbf{ab}\) como na figura1.

Distribuição das camadas de grafeno

Figura 1 - Distribuição das camadas de grafeno

Observando um dos planos do grafite podemos definir a célula unitária como envolvendo dois átomos cuja distância  entre eles é \(a_0\). A célula unitária no espaço real está representada na figura2 pelo plano formado pelos pontos \(ABCD\).

Rede de colmeia que descreve a superfície do grafeno, juntamente com a descrição da célula unitária, vetores da rede \(a_1\), \(a_2\) e plano cartesianos.

Figura2 - Rede de colmeia que descreve a superfície do grafeno, juntamente com a descrição da célula unitária, vetores da rede \(a_1\), \(a_2\) e plano cartesianos.      

Os vetores da rede de Bravais, conhecido como vetor chiral é dado por:

\[\begin{eqnarray} \label{chiralv} \textbf{C}_h=n\textbf{a}_1+m\textbf{a}_2. \end{eqnarray}\]

Os vetores \(\textbf{a}_1\) e \(\textbf{a}_2\) são vetores unitários da rede hexagonal no espaço real, podendo ser expressos em termos das coordenadas cartesianas (\(x\,, y\)):

\[\textbf{a}_1=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\,,\frac{1}{2}\right)a\,\,\,\,\,\,\,\,\textbf{a}_2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\,,-\frac{1}{2}\right)a\]

onde \(|\textbf{a}_1| = |\textbf{a}_2| = a=\sqrt{3}a_0 = 2,46\) \AA. Podemos definir também a primeira zona de Brillouin para o grafite bidimensional. Observa-se pela Figura 2.3 que a rede no espaço recíproco do grafite é também uma rede hexagonal. Nela podemos definir o vetor \(\textbf{K}\) como:

\[ \textbf{K}=m_1\textbf{b}_1+m_2\textbf{b}_2\]

Os vetores base da rede recíproca  podem ser escritos em função do plano cartesiano da forma:

\[\begin{eqnarray}\label{veca}\textbf{b}_1=\left(\frac{1}{2}\,,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\frac{4\pi}{\sqrt{3}a}\,\,\,\,\,\,;\,\,\textbf{b}_2=\left(\frac{1}{2}\,,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\frac{4\pi}{\sqrt{3}a}\end{eqnarray}\]

Para a rede hexagonal recíproca do grafite, definimos os três pontos de alta simetria \(\Gamma\), \(K\) e \(M\), figura3. A relação de dispersão para o grafite 2D é calculada ao longo do perímetro do triângulo formado por esses três pontos.

Rede de colmeia que descreve a superfície do grafeno, juntamente com a descrição da célula unitária, vetores da rede \(a_1\), \(a_2\) e plano cartesianos.

Figura3 - Pontos de alta simetria na primeira zona de Brillouin do grafite.

 Solução do tight-binding para o grafeno

O estudo da  estrutura de bandas de um material é fundamental para descrição do seu comportamento eletrônico ou mesmo de transporte. Ela informa como por exemplo, quais são os valores permitidos de energia para o sistema. Manusear com estruturas cristalinas em escalas muito pequenas (nanométricas) nos  leva a uma abordagem não relativística em que precisaremos resolver a equação de Schrödinger para muitos corpos, o que torna o problema atualmente inviável do ponto de vista computacional, uma vez que, deveria-se incluir, no operador hamiltoniano, as energias cinéticas dos elétrons e  dos núcleos bem como, as interações elétron-elétron, elétron-núcleo e núcleo-núcleo.  Para enfrentar

este problema, diversas aproximações se mostraram eficientes como é o caso da aproximação de Born-Oppenheimer e método de Hartree-Fock (ver apêndice ), o primeiro considera o núcleo ``parado'' em relação ao elétron, o que torna um problema predominantemente eletrônico, podendo-se então, buscar os valores permitidos de energia para o sistema. Outro método muito utilizado é o  tight-binding[2] em que há uma aproximação de primeiros vizinhos, o qual é um instrumento importante para a  descrição de sistemas envolvendo um grande número de átomos que se mostra  muito útil para maioria dos materiais a base de carbono, para os quais os elétrons  dos orbitais \(P_z\) determinam a mobilidade  de carga e outras propriedades destes materiais. 

Nesta seção, abordaremos os estados eletrônicos no grafeno, calculando seus orbitais para os átomos isolados. Supõe-se que, nesses orbitais, os elétrons estão fortemente ligados aos núcleos atômicos da estrutura cristalina. Isso significa que os elétrons ficam praticamente confinados numa região de dimensões lineares pequenas, em comparação com as distâncias inter nucleares, o que nos permite fazer aproximações para um potencial periódico de curto alcance em torno dos núcleos atômicos. Este conjunto de aproximações, é denominado de tight-binding approximation[2,3].

A função de Bloch do elétron no cristal satisfaz a seguinte equação de Schrödinger:

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2+v(\vec{r})\right]\psi_{\vec{k}}(\vec{r})=E(\vec{k})\psi_{\vec{k}}(\vec{r}),\]

em que \(v(\vec{r})\) é o potencial cristalino.

A ideia central do tight-binding é aproximar \(\psi_{\vec{k}}(\vec{r})\) por uma combinação linear de orbitais dos átomos que compõem o cristal. Essa abordagem é chamada de LCAO (linear combination of atomic orbitals)[4].

Como mencionado anteriormente, o carbono é o primeiro elemento do grupo IVA da tabela periódica, que significa que seu estado basal tem dois elétrons fortemente ligados no nível  (\(1s^2\)) e quatro elétrons na banda de valência (\(1s^2\) e \(2p^2\)).

O grafrite, possui as seguintes características:

  •  Hibridização \(sp^2\);
  •  Estrutura hexagonal (folha de grafeno);
  •  Anisotropia (planos de grafeno).

O esquema estrutural para hibridização (\(sp^2\)) do grafeno, é apresentado na figura a seguir

\http://www.asbury.com/Table/Introduction-to-Graphite/

Figura4 - \http://www.asbury.com/Table/Introduction-to-Graphite/

Os orbitais \(\sigma\) se hibridizam formando as ligações da rede hexagonal, veja figura a seguir

Figura5 - \http://www.asbury.com/Table/Introduction-to-Graphite/

Quando vários átomos de carbono são colocados em forma de cristal, cada ligação adquire uma dispersão de banda de energia. A análise a seguir, limita-se para estrutura de banda que se origina a partir do orbital \(P_z\), que é o principal parâmetro para contribuição da dispersão de colagem dos planos de  grafenos para formar o grafite e são chamadas de bandas {\bf\(\pi\)} e {\(\bf \pi^*\)}.

As funções de onda dos orbitais de valência são:

\[ \text{orbital} \,\,{\bf\sigma}\left\{\begin{array}{l}\Psi_1=\frac{1}{3}\psi_{2s}+\sqrt{\frac{2}{3}}\psi_{2px}\\\Psi_2=\frac{1}{3}\psi_{2s}-\frac{1 }{\sqrt{6}}\psi_{2px}+\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_{2py}\\ \Psi_3=\frac{1}{3}\psi_{2s}-\frac{1}{\sqrt{6}}\psi_{2px}-\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_{2py}\end{array}\right.\]

\[\begin{eqnarray} \text{orbital}\,\, {\bf \pi}\left\{\Psi_4=\psi_{2pz}\right..\end{eqnarray}\]

 

Dividiremos a estrutura hexagonal da rede do grafeno, em duas sub-redes {\bf A} e {\bf B}, como na figura

Figura6 - Vetores de base nas sub-redes {\bf A} e {\bf B} para o grafeno

onde os vetores \(\vec{a_1}\) e \(\vec{a_2}\) foram dados em (\ref{veca}) e \(\displaystyle\vec{\tau}=\frac{-1}{3}\left(\vec{a}_1+\vec{a}_2\right)\) e \(|\vec{\tau}|=3 a\).

Abordaremos a modelagem do {\it tight-binding} para o orbital (\(P_{2pz}=P_z\)) e estudaremos a estrutura da banda {\bf \(\pi\)}.

O vetor chiral, equação (\ref{chiralv}), localiza os atómos na sub-rede {\bf A} e consideraremos apenas a interação destes átomos com os primeiros vizinhos, de forma que os vetores que localizam os três vizinhos mais próximos (sub-red {\bf B}) de um dado átomo da sub-rede {\bf A}, são

\[\begin{eqnarray} \vec{\delta}_1=\vec{\tau}+\vec{a}_1\\  \vec{\delta}_2=\vec{\tau}+\vec{a}_2\\  \vec{\delta}_3=\vec{\tau}, \end{eqnarray}\]

ou 

\[\begin{eqnarray}\vec{\delta}_1=\frac{a}{2}(1,\,\sqrt{3}),\,\, \vec{\delta}_2=\frac{a}{2}(1,\,-\sqrt{3})\,\,\,e\,\,\, \vec{\delta}_3=\frac{a}{2}(-1,\,0).\end{eqnarray}\]

A Hamiltoniana do modelo {\it tight-binding} para uma interação forte de primeiros vizinhos para folha de grafeno pode ser dado por

\[\begin{eqnarray} \hat{H}&=&-t\sum_R\left[|\vec{R}\rangle \langle \vec{R}+\vec{\delta_1}|+|\vec{R}\rangle \langle \vec{R}+\vec{\delta_2}|+|\vec{R}\rangle \langle \vec{R}+\vec{\delta_3}|\right.\nonumber\\ &+&\left.|\vec{R}+\vec{\delta_1}\rangle\langle \vec{R}|+|\vec{R}+\vec{\delta_2}\rangle\langle \vec{R}|+|\vec{R}+\vec{\delta_3}\rangle\langle \vec{R}|\right], \end{eqnarray}\]

onde \(t\) é ``salto integral'' de um estado semelhante para outro adjacente.

Fazendo as substituições, teremos

\[ \begin{eqnarray}\label{h} \hat{H}&=&-t\sum_{\vec{R}}\Biggl[|\vec{R}\rangle\langle\vec{R}+\vec{\tau}|+|\vec{R}\rangle \langle\vec{R}+\vec{\tau}+\vec{a_{1}}|+|\vec{R}\rangle\langle\vec{R}+\vec{\tau}+\vec{a_{2}}|+ |\vec{R}+\vec{\tau}\rangle\langle\vec{R}|\nonumber\\  &+&|\vec{R}+\vec{\tau}+\vec{a_{1}}\rangle\langle\vec{R}|+|\vec{R}+\vec{\tau}+ \vec{a_{2}}\rangle\langle\vec{R}|\Biggr]. \end{eqnarray}\]

 

Os argumentos de simetria que utilizamos para a distribuição dos orbitais do grafeno, são suficientes para truncarmos os sistema de orbitais para o estudo apenas do orbital \(P_z\), como foi citado anteriormente,levando ao estudo sobre a banda \(\pi\) próximo ao nível de Fermi. Uma vez que existem dois átomos na célula unitária, podemos formar duas funções de Bloch

\[\begin{eqnarray} |\vec{k}A\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec{R}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}|\vec{R}\rangle \ \ \ \  \text rm{e} \ \ \ \  |\vec{k}B\rangle=\frac{1} {\sqrt{N}}\sum_{\vec{R}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}|\vec{R}+\vec{\tau}\rangle ,   \end{eqnarray}\]

de modo que 

\[\begin{equation}  |\vec{k}\rangle=\alpha|\vec{k}A\rangle+\beta|\vec{k}B\rangle,\end{equation}\]

com a condição de normalização \(|\alpha|^2+|\beta|^2=1\).

Para escrever (\ref{h}) na base dos momentos, devemos fazer

\[\begin{eqnarray}  \hat{H}(\vec{k})=\left(\begin{array}{cc}   \langle\vec{k}A|\hat{H}|\vec{k}A\rangle & \langle\vec{k}A|\hat{H}|\vec{k}B\rangle\\  \langle\vec{k}B|\hat{H}|\vec{k}A\rangle & \langle\vec{k}B|\hat{H}|\vec{k}B\rangle  \end{array}\right), \end{eqnarray}\]

os elementos da matriz diagonal serão nulos \(\langle\vec{k}A|\hat{H}|\vec{k}A\rangle=\langle\vec{k}B|\hat{H}|\vec{k}B\rangle=0\).

O Hamitoniano será então

\[\begin{eqnarray}\hat{H}=-t\sum_{\vec{R}}\Biggl[\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}\sum_{\vec{k}^{\prime}}e^{i\vec{R}\cdot(\vec{k}^{\prime}-\vec{k})}|\vec{k}A\rangle\langle\vec{k}^{\prime}B|+\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}\sum_{\vec{k}^{\prime}}e^{i\vec{R}\cdot(\vec{k}^{\prime}-\vec{k})}e^{i\vec{k}^{\prime}\cdot\vec{a_{2}}}|\vec{k}A\rangle\langle\vec {k}^{\prime}B|+ \end{eqnarray}\]

 

\[\begin{eqnarray}+\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}\sum_{\vec{k}^{\prime}}e^{i\vec{R}\cdot(\vec{k}^{\prime}-\vec{k})}e^{i\vec{k}^{\prime}\cdot\vec{a_{1}}}|\vec{k}A\rangle\langle\vec{k}^{\prime}B|+\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}\sum_{\vec{k}^{\prime}}e^{-i\vec{R}\cdot(\vec{k}^{\prime}-\vec{k})}|\vec{k}B\rangle\langle\vec{k}^{\prime}A|+\end{eqnarray}\]

 

\[\begin{eqnarray}+\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}\sum_{\vec{k}^{\prime}}e^{-i\vec{R}\cdot(\vec{k}^{\prime}-\vec{k})}e^{-i\vec{k}^{\prime}\cdot\vec{a_{2}}}|\vec{k}B\rangle\langle\vec{k}^{\prime}A|+\frac{1}{N}\sum_{\vec{k}}\sum_{\vec{k}^{\prime}}e^{-i\vec{R}\cdot(\vec{k}^{\prime}-\vec{k})}e^{-i\vec{k}^{\prime}\cdot\vec{a_{1}}}|\vec{k}B\rangle\langle\vec{k}^{\prime}A|\Biggr].\end{eqnarray}\]

Usando a relação

\[\begin{eqnarray}\frac{1}{N}\sum_{\vec{R}}e^{i\vec{R}\cdot(\vec{k}^{\prime}-\vec{k})}=\delta(\vec{k}^{\prime}-\vec{k}),\end{eqnarray}\]

que torna

\[\begin{eqnarray}\hat{H}=-t\sum_{\vec{k}}\Biggl[\left(1+e^{i\vec{k}\cdot\vec{a_{1}}}+e^{i\vec{k}\cdot\vec{a_{2}}}\right) |\vec{k}A\rangle\langle\vec{k}B|+\left(1+e^{-i\vec{k}\cdot\vec{a_{1}}}+e^{-i\vec{k}\cdot\vec{a_{2}}}\right) |\vec{k}B\rangle\langle\vec{k}A|\Biggr].\end{eqnarray}\]

Escrevendo o Hamiltoniano em termos dos vetores \(\vec{a}_1\) e \(\vec{a}_2\) com \(\vec{k}=(k_x,\,\,k_y)\), teremos

 

\[\begin{eqnarray}\hat{H}=-t\sum_{\vec{k}}\Biggl\{\left[1+e^{i\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}-\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)}+e^{i\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}+\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)}\right]|\vec{k}A\rangle\langle\vec{k}B|+\end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray}+\left[1+e^{-i\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}-\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)}+e^{-i\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}+\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)}\right]|\vec{k}B\rangle\langle\vec{k}A|\Biggr\}\end{eqnarray}\]

ou

\[\begin{eqnarray}\hat{H}=-t\sum_{\vec{k}}\Biggl\{\left[1+2e^{i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\right]|\vec{k}A\rangle\langle\vec{k}B|+\end{eqnarray}\]

\[\hspace{6.3cm}+\left[1+2e^{-i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\right]|\vec{k}B\rangle\langle\vec{k}A|\Biggr\}.\]

Na forma matricial obtemos

\[\begin{eqnarray}\hat{H}=-t\sum_{\vec{k}}\begin{bmatrix}\langle\vec{k}A|&\langle\vec{k}B|\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1+2e^{i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\\1+2e^{-i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} |\vec{k}A\rangle\\|\vec{k}B\rangle\end{bmatrix}\end{eqnarray}\]

Resolvendo a equação de autovalor, \(det\left(\varepsilon \hat{I}-\hat{A}\right)=0\), teremos

\[\begin{eqnarray}\varepsilon^{2}=t^{2}\left\{\left[1+2e^{i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\right]\left[1+2e^{-i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\right]\right\}\end{eqnarray}\]

ou

\[\begin{eqnarray}\varepsilon_{\pm}=\pm\sqrt{t\left[1+4\cos\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}\right)\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)+4\cos^{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\right]},\end{eqnarray}\]

que é a equação para dispersão da banda da folha de grafeno (cristal em 2D) que está plotada no gráfico a seguir

Figura7 - Energia de Fermi do grafeno para o modelo tight-binding com interação entre os primeiros vizinhos (http://oer.physics.manchester.ac.uk/)

 

Um dos parâmetros principais que justifica a utilização de uma abordagem relativística é sem dúvida o valor da velocidade das partículas envolvidas no processo físico em questão. Estamos interessados em estimar a partir da modelagem do tight-binding, a velocidade de Fermi na folha de grafeno, para entendermos o relevância desta velocidade na necessidade de uma abordagem  relativística dessa estrutura.

Seguimos com o quadrado da energia, dada por

\[\begin{eqnarray}\label{e2} \varepsilon^{2}=t^{2}\left\{\left[1+2e^{i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\right] \left[1+2e^{-i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)\right]\right\}, \end{eqnarray}\]

para o caso de  \(\varepsilon\) anular-se, devemos ter o primeiro ou o segundo termo entre parênteses da equação \((\ref{e2})\) igual a zero, o que nos fornece

\[\begin{eqnarray}1+2e^{-i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)=0\end{eqnarray}\]

ou 

\[\begin{eqnarray}2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)=-e^{i\frac{3}{2}k_{x}a_{0}}.\end{eqnarray}\]

 

Aplicando a fórmula de Euler, obtemos

\[\begin{eqnarray}2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)=-\left[\cos\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}\right)\right]. \end{eqnarray}\]

Desta obtemos duas equações

\[\begin{eqnarray}\label{ee1} 2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)=-\cos\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}\right) \end{eqnarray}\]

e

\[\begin{eqnarray}\label{ee2}\sin\left(\frac{3}{2}k_{x}a_{0}\right)=0.\end{eqnarray}\]

Note que (\ref{ee1}) é satisfeita somente se  

\[\begin{eqnarray}\frac{3}{2}k_{x}a_{0}=n\pi  \ \ \ \textrm{for} \ \ \ n=0,\pm 1, \pm 2,... \hspace{0.5cm} \textrm{ou} \hspace{0.5cm} k_{x}=\frac{2}{3a_{0}}n\pi. \end{eqnarray}\]

Se substituirmos \(k_{x}\) em \( (\ref{ee2})\), obtemos

\[\begin{eqnarray}2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)=-\left(-1\right)^{n}=\left(-1\right)^{n+1}  \ \ \  \textrm{ou} \ \ \  \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_{y}a_{0}\right)=\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}.\end{eqnarray}\]

Para \(n=0\) temos

\[\begin{eqnarray}k_{x}=0 \ \ \ \ \ \ \  \textrm{ou} \ \ \ \ \ \ k_{y}=\pm\frac{2\pi}{3a_{0}}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right).\end{eqnarray}\]

Para \(n=\pm 1\) temos

\[\begin{eqnarray}k_{x}=\pm\frac{2\pi}{3a_{0}} \ \ \ \ \ \ \  \textrm{ou} \ \ \ \ \ \ k_{y}=\pm\frac{2\pi}{3a_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\end{eqnarray}\]

Podemos escrever agora os vértices na rede recíproca, que são denominados de pontos K de Dirac

\[\begin{eqnarray}\left(k_{x},k_{y}\right)=\frac{2\pi}{3a_{0}}\left(0,\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\right)  \ \ \ \ \  \textrm{and} \ \ \ \ \ \left(k_{x},k_{y}\right)=\frac{2\pi}{3a_{0}}\left(\pm 1,\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\end{eqnarray}\]

Tomando novamente o quadrado da energia,

\[\begin{eqnarray}\label{ee22}\varepsilon^{2}=t^{2}\left[\left(1+e^{i\vec{k}\cdot\vec{a_{1}}}+e^{i\vec{k}\cdot\vec{a_{2}}}\right)\left(1+e^{-i\vec{k}\cdot\vec{a_{1}}}+e^{-i\vec{k}\cdot\vec{a_{2}}}\right)\right],\end{eqnarray}\]

estamos interessados em estudar o caso limite em que a energia tende a zero, isto é, que definiremos o vetor \ \ \(\delta\vec{k}=\vec{k}-\vec{K}\), onde \(\delta\vec{k}=(\delta k_{x},\delta k_{y})\) e \(\vec{K}\) é o vetor dado por

\(\vec{K}=\frac{2\pi}{3a_{0}}\left(1,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\), correspondente a um dos vértices do hexágono no espaço recíproco.

Substituindo este fato em \( (\ref{ee22})\), obtemos

\[\begin{eqnarray}\varepsilon^{2}=t^{2}\left[\left(1+e^{i\vec{a_{1}}\cdot(\delta\vec{k}+\vec{K})}+e^{i\vec{a_{2}}\cdot(\delta\vec{k}+\vec{K})}\right)\left(1+e^{-i\vec{a_{1}}\cdot(\delta\vec{k}+\vec{K})}+e^{-i\vec{a_{2}}\cdot(\delta\vec{k}+\vec{K})}\right)\right]\end{eqnarray}\]

ou 

\[\begin{eqnarray}\varepsilon^{2}=t^{2}\left[\left(1+e^{i\vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}}e^{i\vec{a_{1}}\cdot\vec{K}}+e^{i\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}}e^{i\vec{a_{2}}\cdot\vec{K}}\right)\left(1+e^{-i\vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}}e^{-i\vec{a_{1}}\cdot\vec{K}}e^{-i\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}}e^{-\vec{a_{2}}\cdot\vec{K}}\right)\right].\end{eqnarray}\]

 

Agora vamos usar a fórmula de Euler para os termos contendo o vetor \(\vec{K}\) e expandir os

termos que envolvem o vector \(\delta\vec{k}\) até a primeira ordem. Este procedimento nos leva a

\[\begin{eqnarray}\varepsilon^{2}=t^{2}\Biggl\{\left[1+\left(\frac{i\sqrt{3}-1}{2}\right)\left(1+i\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}\right)+\left(\frac{-i\sqrt{3}-1}{2}\right)\left(1+i\vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}\right)\right]\times\end{eqnarray}\]

\[\Biggr.\times\left[1+\left(\frac{-i\sqrt{3}-1}{2}\right)\left(1-i\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}\right)+\left(\frac{i\sqrt{3}-1}{2}\right)\left(1-i \vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}\right)\right]\Biggr\} .\]

Com um pouco mais de álgebra, obtemos

\[\begin{eqnarray}\varepsilon^{2}=t^{2}\Biggl\{\left[1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}-\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}-\frac{i}{2}\vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}+\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}\right]\times\end{eqnarray}\]

 

\[\begin{eqnarray}\times\left[1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}-\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{a_{2}}\cdot\delta\vec{k}+\frac{i}{2}\vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}+\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{a_{1}}\cdot\delta\vec{k}\right]\Biggr\}.\end{eqnarray}\]

Alguns termos anulam-se mutuamente, obtemos

\[\begin{eqnarray}\varepsilon^{2}=t^{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\delta\vec{k}\cdot(\vec{a_{1}}-\vec{a_{2}})-\frac{i}{2}\delta\vec{k}\cdot(\vec{a_{1}}+\vec{a_{2}})\right]\times\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\delta\vec{k}\cdot(\vec{a_{1}}-\vec{a_{2}})+\frac{i}{2}\delta\vec{k}\cdot(\vec{a_{1}}+\vec{a_{2}})\right]\end{eqnarray}\]

 

\[\begin{eqnarray}=t^{2}\left(-i\frac{3a_{0}}{2}\delta k_{x}+\frac{3a_{0}}{2}\delta k_{y}\right)\times\left(i\frac{3a_{0}}{2}\delta k_{x}+\frac{3a_{0}}{2}\delta k_{y}\right)\end{eqnarray}\]

 

\[\begin{eqnarray}=\frac{9}{4}a_{0}^{2}t^{2}\left[\left(\delta k_{x}\right)^{2}+\left(\delta k_{y}\right)^{2}\right]=\frac{9}{4}a_{0}^{2}t^{2}\arrowvert \delta\vec{k}\arrowvert ^{2}.\end{eqnarray}\]

Portanto,

\[\begin{eqnarray}\varepsilon=\pm\frac{3}{2}a_{0}t\arrowvert\delta\vec{k}\arrowvert\end{eqnarray}\]

que por uma análise dimensional identificamos que \(v_{F}=\frac{3}{2}a_{0}t\) é a velocidade de Fermi. Temos que \(a_0\approx 1,42\) \AA{} e \(t\approx 2,7\) ev, inicialmente foi tomado a simplificação de \(\hbar=m=1\), recuperando as unidades, temos que a velocidade de Fermi é dada porque

\[\begin{eqnarray}v_{F}=\frac{3}{2\hbar}a_{0}t,\end{eqnarray}\]

a constante \(\hbar\) nas dimensões de [ev, s], elétron volt e segundos, respectivamente, é dada por \(\hbar\approx0,66\times10^{-15}\) ev.s e portanto

obtemos

\[\begin{eqnarray} v_{F}&\approx & \frac{5,75}{0,66}\frac{10^{-10}}{10^{-15}}\nonumber\\ &\approx& 8,7\times10^5\nonumber\\  &\approx& \frac{c}{300}.\end{eqnarray}\]

Para relatividade restrita, a raiz \(\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\), representa a quantidade que correlaciona eventos relativísticos

e não relativíticos, sendo igual a \(1\) para baixas velocidades \(v\). Para a velocidade que encontramos, teremos

\[\begin{eqnarray} \delta&=& \sqrt{1-\frac{v_F^2}{c^2}}\nonumber\\       &=& \sqrt{1-\frac{1}{300^2}}\nonumber\\       &\approx&1.\end{eqnarray}\]

Esse resultado leva a crer que não existe uma justificativa para uma abordagem relativística, em relação a velocidade de Fermi queé considerada pequena frente as dimensões que geram situações em que uma abordagem relativística se faz necessária. Nossa motivação está principalmente na disperssão da energia, de acordo com a figura \((\ref{bandapi})\), que exibe umaconfiguração natural dos cones de Dirac, ou seja, uma dispersão linear de energia.

 

Com esse resultado, naturalmente muitos são levados a pensar inicialmente que a velocidade dos elétrons na superfície do grafeno que é aproximadamente a mesma na superfície do nanotubo, não justifica a necessidade de uma abordagem relativística, no entanto, faremos essa abordagem inspirados nas distribuições das estruturas de bandas \(\pi\) (figura (\ref{bandapi}). Ao se considerar relativisticamente um problema que estudará propriedades eletrônicas na estrutura do grafeno, não se trata apenas da busca de uma disperssão linear para a energia de partícula independente  que é verificada experimentalmente nos pontos \(K\), ao se analisar a estrutura de bandas no grafeno. Trata-se também de se obter um modelo que seja capaz de gerar massa (gap) dinâmicamente, que tem sido observada tanto para nanotubos de paredes simples, como para nanofitas de grafeno [5-10].

 

Nanotubos de Carbono

Nanotubos de carbonos são nanoestruturas únicas com propriedades mecânicas e elétricas notáveis. Essas moléculas são as mais fortes, flexíveis e resistentes a tensões que já foram produzidas. Além disso, podem ser simultaneamente excelentes condutores, tanto de calor como de eletricidade.

Uma forma simples de gerar um nanotubo consiste em enrolar folhas de grafeno na forma de cilindros com diâmetros da ordem de um nanômetro (\(10^{-9}\,\,m\)). Estes modelos apresentam destacáveis potenciais como elementos básicos para um conjunto de dispositivos em nano escala.

Os nanotubos são também apropriados para estudar as relações entre estruturas atômicas unidimensionais bem definidas e respectivas propriedades eletrônicas. Através de microscopia de varredura por efeito túnel tornou-se possível revelar as estruturas atômicas de nanotubos de carbono de diferentes quiralidades. Além disso, tais estudos têm permitido exames de interessantes fenômenos quânticos associados a tubos de comprimentos finitos com aplicações fundamentais em propriedades de transporte eletrônico em nanotubos [11].

 

A descoberta dos fulerenos de carbono em \(1985\) foi fundamental para definir o caminho que a pesquisa em novos materiais tomaria a partir daquela data. Até então, estudava-se carbono na forma de cadeias lineares, diamante e grafite. O que o grupo de Curl, Smalley e Kroto [12] fizeram, valendo a esses três o prêmio Nobel de Química em \(1997\), foi propor uma nova forma para estruturas de carbono, apropriada para a interpretação do experimento dos autores com aglomerados desse elemento. Lembrando os domos geodésicos construídos pelo arquiteto americano Buckminster Fuller, essa nova forma consistia em estruturas fechadas nas quais átomos de carbono ocupavam vértices de hexágonos e pentágonos. Nesse modelo, o aglomerado obtido com maior abundância, com \(60\) átomos de carbono, tinha uma estrutura idêntica a uma bola de futebol, e passou a ser conhecida como buckyball.

 

Mais tarde, em 1991, ao tentar otimizar a técnica de obtenção de fulerenos, S. Iijima [13] observou a formação de estruturas de carbono tubulares e multicamadas que se formavam a partir da passagem de uma descarga elétrica entre dois eletrodos de grafite. Os nanotubos de carbono, como passaram a ser chamados, encontraram um terreno fértil, e o experimento de Iijima marcou o início de intensa atividade de pesquisa concentrada nesses compostos. Para entender o porquê, é útil usar primeiramente uma construção geométrica, na qual os  nanotubos são vistos como o resultado do dobramento de folhas de grafeno.

 

O grafeno é uma folha planar de átomos de carbono em ligação \(sp^2\)  densamente compactados e com espessura de apenas um átomo, reunidos em uma estrutura cristalina hexagonal (favo de mel) Figura ref{grafeno2}.

 

 Figura8  Estrutura das ligações do carbono no grafeno

 

 

 O grafeno é bastante abundante e de estrutura significativamente estável e resistente, ele pode ser a chave para a produção de transístores de apenas \(0,01\,\, \mu m\), indo além do limite teórico de \(0,02 \,\,\mu m\), pelo qual os transístores possuiriam apenas dois ou três átomos de espessura e poucas dezenas de átomos de comprimento, aproximando-se dos limites físicos da matéria.

 

 Há  várias maneiras distintas de se dobrar as folhas de grafeno, cada uma levando a um tipo de nanotubo. O curioso é que as propriedades eletrônicas de um nanotubo dependem fortemente desses aspectos geométricos [14]. Os nanotubos podem ser caracterizados por diversos tipos mediante sua forma topológica de enrolamento bem como na forma da distribuição dos vetores chirais.

Iremos estudar para nosso modelo os nanotubos de paredes simples.

Nanotubos de Paredes Simples - SWNT

 A maioria dos nanotubos de parede simples ({\it SWNT}) têm um diâmetro de cerca de 1 nanometro, com um comprimento do tubo podendo ser milhões de vezes maior. A

estrutura de um {\it SWNT} pode ser construída envolvendo um átomo de mesma espessura da camada do grafite, chamado grafeno em um cilindro transparente. A forma como a folha de grafeno é dobrada pode ser representada por um par de índices (n,m), chamados de números chirais.

 

Os  números inteiros \(n\) e \(m\)  denotam o número de vetores unitários ao longo das duas direções na estrutura cristalina do favo de mel do grafeno. Se \(m = 0\), os nanotubos são chamados de \(zigzag\).  Se \(m= n\), os nanotubos são chamados de \(armchair\). Caso contrário, eles são chamados de {\it chiral} (Figura \ref{folhasnanos}).

Nanotubos de Paredes Múltiplas - MWNT

Consistem em várias camadas de laminados (tubos concêntricos) de grafite. Existem dois modelos que podem ser usadas para descrever a estrutura dos nanotubos de paredes. No modelo Doll russo, folhas de grafite são dispostas em cilindros concêntricos, por exemplo, um nanotubo ({\it SWNT}) de parede única (\(0,8\)) dentro de um nanotubo de 

parede única (\(0,10\)) maior. No modelo de pergaminho, uma única folha de grafite é enrolada em torno de si, assemelhando-se um rolo de pergaminho ou de um jornal enrolado. A distância interlamelar em nanotubos de paredes (entre as camadas de grafeno) é cerca de \(3,3\) \AA.

 

Os nanotubos de paredes duplas (\(DWNT\)) são importantes porque a sua morfologia e as propriedades são semelhantes às {\it SWNT} mas sua resistência aos produtos químicos são significativamente melhoradas. Isto é especialmente importante quando é necessário o uso de reações químicas (isto significa interações químicas na superfície dos

nanotubos) para adicionar novas propriedades para o CNT. No caso de {\it SWNT}, a interação com reagentes químicos quebrarão algumas ligações tipo \(C-C\), deixando "buracos" na estrutura do nanotubo,   e assim, modificando tanto suas propriedades mecânicas como elétricas. No caso de \(DWNT\), apenas a parede exterior é modificada.  A síntese de \(DWNT\) foi proposta pela primeira vez em \( 2003\) [10] pela técnica de deposição catalítica de vapor químico (CVD), a partir da redução seletiva de soluções de óxido de metano e hidrogênio.

Estrutura Geométrica dos Nanotubos de Carbono

Um nanotubo de carbono é uma molécula cilíndrica e oca feita de uma camada singular de carbonos ligados entre si numa configuração \(sp^2\). O seu diâmetro é da ordem de poucos nanômetros e o seu comprimento pode chegar a vários micrometros. Os extremos destes tubos ficam fechados por estruturas tipo fulerenos [11]. O que garante uma minimização dos efeitos de borda.

Como discutido acima, cada nanotubo é especificado pelo vetor {\it chiral} \(\textbf{C}_h\) que corresponde à direção de enrolamento da folha bidimensional de grafeno. Na Figura \ref{redegil2} é apresentada a folha na forma de colméia de abelhas que representa o grafeno. Os eixos \(\textbf{a}_1\) e \(\textbf{a}_2\) fazem um ângulo de \(60^{\circ}\) entre si.

Definiremos a origem para \(\theta=0^{\circ}\) na direção de \(\textbf{a}_1\). Assim, um nanotubo com  vetor {\it chiral} na direção de \(\theta=0^{\circ}\) é chamado de \(zigzag\), aquele com um ângulo \(\theta=30^{\circ}\) é um nanotubo tipo \(armchair\), e todos os outros formados com um ângulo {\it chiral} na faixa \(0^{\circ}\leq\theta\leq30^{\circ}\) são chamados de nanotubos \(chirais\) de acordo com a Figura \ref{folhasnanos}.

 

Figura 9 - a) O vetor {\it chiral} é dobrado, enquanto o vetor de translação fica em linha reta para (n,0); b) Zigzag (n,0); c) O vetor {\it chiral} é dobrado, enquanto o vetor de translação fica em linha  reta (n,n); d) Armchair (n,n); e) n e m podem ser contadas no final do  tubo (m, n); f) Quirais (n,m).

 

O vetor {\it chiral} \(\textbf{C}_h\), também conhecido como vetor de Hamada [14], pode ser expresso em termos dos vetores unitários no espaço real \(\textbf{a}_1\) e \(\textbf{a}_2\) da Figura \ref{redegil2} da rede hexagonal.

\[\begin{eqnarray}\label{chiral}\textbf{C}_h=n\textbf{a}_1+m\textbf{a}_2\equiv(n\,,\,m)\end{eqnarray}\]

A partir do vetor {\it chiral} (\ref{chiral}) podemos descrever as propriedades geométricas dos nanotubos de paredes simples. Odiâmetro do nanotubo, \(d\), é descrito pela equação

\[\begin{eqnarray}\label{dia}d=\frac{|\textbf{C}_h|}{\pi}=a\frac{\sqrt{n^2+m^2+nm}}{\pi}\,.\end{eqnarray}\]

A constante \(a\) é denominada constante do grafeno,(\(a=\sqrt{3}a_0 = 2,49 \,\,{\AA{}}\)) e \(a_0 = 1,42°\,\,{\AA}\) é a ligação \(C-C\) em nanotubos de carbono. A expressão do angulo {\it chiral} \(\theta\) em função de (\(n,m\)) é dada pela equação:

\[\begin{eqnarray}cos\theta=\frac{\textbf{C}_h\textbf{a}_1}{|\textbf{C}_h||\textbf{a}_1|}=\frac{2n+m}{2\sqrt{n^2+m^2+nm}}\end{eqnarray}\]

onde \(\theta = 0^\circ\) e \(\theta = 30^\circ\) correspondem aos nanotubos \(zigzag\) e \(armchair\) respectivamente, como foi mencionado anteriormente.

Assim, um nanotubo do tipo \(armchair\) (Figura \ref{folhasnanos}-d)   é sempre metálico, enquanto um do tipo \(zigzag\) (Figura\ref{folhasnanos}-b) pode ser metálico ou semicondutor. Tamanha versatilidade em suas propriedades dá aos nanotubos um grande potencial de aplicação em nanotecnologia.

Em resumo, os \(SWCNT\) podem ser definidos pelos diferentes coeficientes (n,m):

\(\begin{tabular}{cccccc}% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4}...   \)a)\( & Armchair & \)n = m\(, & \)\textbf{C}_h = (n, n)\(, & \)\theta = 30^{\circ}\( \\  \)b)\( & Zigzag & \)m = 0\(, & \)\textbf{C}_h = (n, 0)\(, & \)\theta = 0^{\circ}\( \\  \)c)\( & Chiral & \)n \neq m\(, & \)0^{\circ}\leq|\theta|\leq30^{\circ}\(, & .\\\end{tabular}\)

 

Além do vetor \(\textbf{C}_h\), a célula unitária é delimitada poroutro vetor, paralelo ao eixo do tubo e perpendicular ao vetor {\it chiral}, denominado vetor de translação \((\textbf{T})\). O módulo do vetor de translação define o período translacional \(t\) ao longo do tubo.

 

 O  vetor \textbf{T} é o vetor que liga o átomo de origem (átomo O) ao primeiro átomo cristalograficamente idêntico na rede hexagonal. Ele pode ser escrito em termos dos vetores bases \(\textbf{a}_1\) e \(\textbf{a}_2\) como:

\[\begin{eqnarray}\textbf{T}=t_1 \textbf{a}_1 +t_2 \textbf{a}_2 \equiv (t_1\,,\,t_2)\end{eqnarray}\]

Sendo \textbf{T} e \(\textbf{C}_h\) perpendicular é fácil ver que:

\[\begin{eqnarray}\textbf{C}_h.\textbf{T}=0\end{eqnarray}\]

Podemos assim definir os índices \(t_1\) e \(t_2\):

\[\begin{eqnarray}t_1=\frac{(2m+n)}{N_R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,t_2=-\frac{(2n+m)}{N_R}\end{eqnarray}\]

Sendo  \(N_R\)  o máximo divisor comum de \((2m+n)\) e \((2n+m)\).

O número de hexágonos de uma célula unitária  pode ser determinado, dividindo-se a área da célula unitária do nanotubo pela área do hexágono. Assim:

\[\begin{eqnarray}N=\left| \frac{\textbf{C}_h\times \textbf{T}}{\textbf{a}_1 \times \textbf{a}_2}\right|=\frac{(n^2+m^2+nm)}{N_R}\end{eqnarray}\]

Sendo \(N\) o número de hexágonos. Como cada hexágono na estrutura do grafeno possui \(2\) átomos distintos, a célula unitária do nanotubo tem \(2N\)  átomos de carbono.

A região delimitada pelos vetores  \(\textbf{C}_h\) e  \textbf{T} (região cinza da Figura \ref{redegil2}) corresponde à célula unitária do nanotubo.

A direção do vetor {\it chiral} é dada pelo ângulo {\it chiral} (\(\theta\)) que é definido como o ângulo entre o vetor  \(\textbf{a}_1\) e o vetor \(\textbf{C}_h\). O ângulo {\it chiral} pode ser facilmente calculado a partir de relações trigonométricas e pode ser expresso em termos dos índices (n,m) como:

\[\begin{eqnarray} \theta=tg^{-1}\left(\frac{3m}{m+2n}\right)\end{eqnarray}\].

 

 


Referências

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[9] Y.-W. Son, M. L. Cohen, and S. G. Louie, \Energy gaps in graphene nanoribbons," Phys. Rev. Lett., vol. 97, p. 216803, Nov 2006.

[10] M. Y. Han, B. Ozyilmaz, Y. Zhang, and P. Kim, \Energy band-gap engineering of graphene nanoribbons," Phys. Rev. Lett., vol. 98, p. 206805, May 2007.

[11] M. D. A. Jorio and G. Dresselhaus, Carbon Nanotubes: Advanced Topics in the Synthesis, Structure, Properties and Applications, vol. 111 of Springer Series on Topics in Applied Physics.

[12] H. J. R. O. S. C. C. R. F. Kroto, H. W. and R. E. Smalley, \C60: Buckmisterfullerene," Nature, vol. 318, p. 163, 11 985.

[13] S. Iijima, \Helical microtubules of graphitic carbon," Nature Publishing Group, vol. 354, p. 56, 11 1991.

[14] A. Yamanaka and S. Okada, \Electronic properties of carbon nanotubes under an electric eld," Applied Physics Express, vol. 5, no. 9, p. 095101, 2012.

[15] E. Flahaut, R. Bacsa, A. Peigney, and C. Laurent, \Gram-scale ccvd synthesis of doublewalled carbon nanotubes," Chem. Commun., pp. 1442{1443, 2003.

 

Modelos efetivos de teoria de campos aplicados a nanotubos de carbono e grafeno

Tese de Doutorado apresentada como requisito para obtenção do título de doutor em física pelo programa de pós graduação em física do Instituto de Física da Universidade Federal Fluminense - Niterói-Rio de Janeiro. (14 de agosto de 2014).

Resumo

Apresentamos estudos feitos para sistemas com N férmions  interagentes sobre uma superfície cilíndrica. Usamos modelos efetivos  não relativísticos e relativísticos baseados em teoria de campos para investigar, do ponto de vista de uma aproximação de campo médio, as energias de tais sistemas.

Usamos interações de contato para descrever sua dinâmica. Este fato permite que se obtenha grande parte dos resultados dos modelos de  forma analítica. A parametrização é feita para reproduzir  experimentalmente a função trabalho experimental do grafeno e se presta à obtenção das funções trabalho de nanotubos de carbono assim como também calcular a abertura de gaps em nanofitas decarbono. Nossos resultados para abertura de gaps em nanofitas decarbono - GNRs são comparados com dados experimentais da literatura, assim como também com resultados obtidos através de métodos teóricos baseados no funcional densidade (DFT).

Nosso modelo apresenta bons resultados para nanofitas com larguras acima de 10 nm, mostrando-se como uma opção simples baseada em interação efetiva.

No final é apresentado um estudo preliminar e prospectivo que pretende estender os modelos mencionados para temperatura finita.

 Link para download: http://www.if.uff.br/pt/baixargeral/doc_download/388-